Systemy liczbowe - arytmetyka

powrót

W tym artykule zajmiemy się arytmetyką na różnych systemach liczbowych. Pisząc o arytmetyce mamy na myśli takie działania jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Zaczniemy od dodawania.

Dodawanie

Aby lepiej zrozumieć proces dodawania w różnych systemach liczbowych, należy przyjrzeć się dokładniej dodawaniu w pozycyjnym systemie dziesiątkowym: 

systemy liczbowe arytmetyka

Dodając cyfry jedności $$3+9=12$$, a więc $$2$$ spisujemy pod sumą dodawanych cyfr, a to co zostało, czyli $$1$$ przerzucamy nad cyfry dziesiątek:

systemy liczbowe arytmetyka

 W następnych krokach wykonujemy te same czynności dodając kolejne cyfry.

W innych systemach wygląda to identycznie. Jedyna różnica jest taka, że na przykład dodając do siebie dwie cyfry w systemie trójkowym (np. 2 + 2 = 4 = (11)3 wynik przestawiamy także w tym systemie. Następnie najmniej znacząca cyfra jest zapisywana pod sumą cyfr, a to co zostaje przepisujemy nad kolejne cyfry. Dla przykładu dodajmy do siebie liczby w systemie dwójkowym:

Przykład 1

systemy liczbowe arytmetyka

Oczywiście $$1+1+1=3=(11)_2$$, w pierwszym kroku mamy następującą sytuację:

systemy liczbowe arytmetyka

Następnie otrzymujemy  ponownie 3 czyli $$(11)_2$$:

systemy liczbowe arytmetyka

W kolejnym kroku wynikiem dodawania jest liczba $$4=(100)_2$$, a więc $$0$$ wpisujemy pod dodawanymi cyframi, a to co zostało, czyli $$(10)_2 = 2$$ nad kolejnymi cyframi do dodania:

systemy liczbowe arytmetyka

I w ostateczności otrzymujemy:

 

systemy liczbowe arytmetyka 

Jako drugi przykład weźmy dodawanie w systemie piątkowym:

Przykład 2

system piątkowy

Postępujemy dokładnie tak samo jak w przykładzie z systemem dwójkowym:

$$3+3+4=10=(20)_5$$

system piątkowy

I w ostateczności otrzymujemy:

system piątkowy