Programowanie i algorytmy

Systemy liczbowe - arytmetyka

powrót

W tym artykule zajmiemy się arytmetyką na różnych systemach liczbowych. Pisząc o arytmetyce mamy na myśli takie działania jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Zaczniemy od dodawania.

Dodawanie

Aby lepiej zrozumieć proces dodawania w różnych systemach liczbowych, należy przyjrzeć się dokładniej dodawaniu w pozycyjnym systemie dziesiątkowym: 

systemy liczbowe arytmetyka

Dodając cyfry jedności {tex}3+9=12{/tex}, a więc {tex}2{/tex} spisujemy pod sumą dodawanych cyfr, a to co zostało, czyli {tex}1{/tex} przerzucamy nad cyfry dziesiątek:

systemy liczbowe arytmetyka

 W następnych krokach wykonujemy te same czynności dodając kolejne cyfry.

W innych systemach wygląda to identycznie. Jedyna różnica jest taka, że na przykład dodając do siebie dwie cyfry w systemie trójkowym (np. 2 + 2 = 4 = (11)3 wynik przestawiamy także w tym systemie. Następnie najmniej znacząca cyfra jest zapisywana pod sumą cyfr, a to co zostaje przepisujemy nad kolejne cyfry. Dla przykładu dodajmy do siebie liczby w systemie dwójkowym:

Przykład 1

systemy liczbowe arytmetyka

Oczywiście {tex}1+1+1=3=(11)_2{/tex}, w pierwszym kroku mamy następującą sytuację:

systemy liczbowe arytmetyka

Następnie otrzymujemy  ponownie 3 czyli {tex}(11)_2{/tex}:

systemy liczbowe arytmetyka

W kolejnym kroku wynikiem dodawania jest liczba {tex}4=(100)_2{/tex}, a więc {tex}0{/tex} wpisujemy pod dodawanymi cyframi, a to co zostało, czyli {tex}(10)_2 = 2{/tex} nad kolejnymi cyframi do dodania:

systemy liczbowe arytmetyka

I w ostateczności otrzymujemy:

 

systemy liczbowe arytmetyka 

Jako drugi przykład weźmy dodawanie w systemie piątkowym:

Przykład 2

system piątkowy

Postępujemy dokładnie tak samo jak w przykładzie z systemem dwójkowym:

{tex}3+3+4=10=(20)_5{/tex}

system piątkowy

I w ostateczności otrzymujemy:

system piątkowy